К. происходил из знатного рода, владевшего землями в В. Швабии или В. Баварии (Maurer. 2003. S. 126). В 1-м Житии родословная епископа не уточняется. Согласно 2-му Житию и «Генеалогии Вельфов» (1125/26), К. принадлежал к роду Вельфов; его родители — Генрих, гр. Альтдорфа (В. Швабия), и Ата. Одним из инициаторов канонизации К. выступал герц. Генрих Чёрный из рода Вельфов; причисление К. к лику святых стало т. о. одним из этапов утверждения памяти этого рода в 1-й пол. XII в. (Эксле. 2007. С. 315).
О детстве и юности К. известно мало. Ребенком его отдали на воспитание в соборную школу в Констанце; он был рукоположен во пресвитера (дата неизв.), затем стал членом соборного капитула. Нотинг, еп. Констанца (919/20–934), объявил К. своим преемником. После смерти Нотинга, на выборах нового епископа в дек. 934 г., кандидатуру К. поддержал еп. Ульрих Аугсбургский, высоко ценивший его (Maurer. 2003. S. 126). В. Бершин полагает, что сведения о дружеских отношениях между епископами могли быть придуманы составителем Жития Одальскальком (Berschin. Odascalcs Vita S. Konradi. 1975. S. 95–96). В янв. 947 г. К. принимал участие в рейхстаге во Франкфурте (ныне Франкфурт-на-Майне). Его имя стоит среди имен церковных иерархов и светских правителей, заверивших диплом кор. Оттона I о подтверждении привилегий мон-ря Эссен (MGH. Dipl. Reg. Imp. T. 1. N 85. P. 166–168). В июне 948 г. К. участвовал в Соборе в Ингельхайме (MGH. Conc. T. 6. Pars 1. N 13. P. 135–163). Вероятно, сопровождал кор. Оттона I во время похода в Италию (осень 961 — янв. 962), присутствовал на его имп. коронации в Риме (2 февр. 962). 21 февр. 962 г. в Риньяно-Фламинио в Италии имп. Оттон I передал К. 2 земельных владения в обл. Брайсгау, конфискованные в 952 г. у гр. Гунтрама. После смерти К. эти земли должны были перейти соборному капитулу Констанца «ради спасения души императора и его родителей» (MGH. Dipl. Reg. Imp. T. 1. N 236. P. 327–328). По мнению Г. Альтхофаи Х. Маурера, диплом косвенно свидетельствует о том, что между императором и К. был заключен договор о взаимном поминовении (Althoff. 1984. S. 335; Maurer. 2003. S. 130). В кон. лета 972 г. император вместе с сыном (впосл. кор. и имп. Оттон II), возвращаясь из итал. похода, посетил Констанц и 18 авг. подтвердил дипломом права и привилегии монастыря Райнау (близ Констанца). В преамбуле документа говорится, что Оттон сделал это по прошению К. (cuius petitioni assensum prebentes) (MGH. Dipl. Reg. Imp. T. 1. N 418. P. 570–571). Поскольку в грамоте дарения мон-рю вместо имени аббата стоит имя К., исследователи полагают, что имперское аббатство Райнау находилось во владении Констанцского епископа; речь могла идти о знаке милости правителя к К. (Maurer. 2003. S. 129). В грамоте от 1 нояб. 972 г. К. упомянут в числе лиц, подавших прошение Оттону I о предоставлении иммунитета монастырю Оттобойрен в В. Баварии (Ibid. S. 130).
О деятельности К., направленной на обустройство Констанцского епископства, известно довольно много. Особым попечением епископа пользовались ц. св. Стефана и соборный капитул в Констанце. К. делал щедрые дарения капитулу, в т. ч. из земельных владений Вельфов (Fleckenstein. 1957; Oexle. 1975). В кон. 934 — нач. 935 г. епископ передал капитулу доходы со значительной части своих владений (Maurer. 2003. S. 131). Согласно Житию, К. даровал кафедральному собору Пресв. Девы Марии мощи святых (в их числе были привезенные из Рима останки святых Патрикия и Метеллия (не идентифицированны) - Maurer. 2003. S. 131), которые, по-видимому, были помещены в реликварий из золота, украшенный драгоценными камнями (Vita prior. 6 // MGH. SS. T. 4. P. 432). К. принимал деятельное участие в городском строительстве. Он возвел в Констанце 4 церкви, которые должны были символизировать 4 великие (т. н. патриаршие) рим. базилики: между кафедральным собором и р. Рейн была возведена ц. св. Иоанна (ее св. покровителями почитались св. Иоанн Предтеча и ап. Иоанн Богослов, как и в Латеранской базилике в Риме — Ibid. S. 133); на др. берегу реки — ц. св. ап. Петра (не сохр.; в наст. время на ее месте находится монастырь Петерсхаузен), а за пределами городских стен, по дороге в Тургау, заложена ц. св. ап. Павла (она соотносилась с рим. ц. Сан-Паоло-фуори-ле-Мура). Вернувшись из 2-го путешествия в Иерусалим (согласно Житию, К. совершил 3 паломничества на Св. землю — Vita prior. 7 // MGH. SS. T. 4. P. 433), епископ приказал построить церковь в честь св. Маврикия, куда были помещены привезенные им мощи святого (Maurer. 1973. S. 50–51). Церковь имела форму ротонды и была построена по образцу Кувуклии Гроба Господня (Воскресения Христова) храма в Иерусалиме (см.: Erdmann, Zettler. 1977; Borgolte. 1984). При К. в Констанце велись также работы по обновлению старых церквей (Vita altera. 18 // MGH. SS. T. 4. P. 439). Одним из храмов, отремонтированных при К., могла быть ц. св. Лаврентия (не сохр.), находившаяся за городскими стенами к западу от центральной площади. К. передал в нее привезенные из Рима мощи св. Лаврентия. За пределами городских стен, на старой рим. дороге, К. обустроил епископскую резиденцию. Внимание К. к топографии и архитектуре храмов Иерусалима и Рима можно объяснить тем, что Констанц находился на одной из важнейших дорог в Италию и был пунктом осановки паломников, направлявшихся в Рим и на Св. землю. При К. в городе для паломников был построен приют (на 12 чел.).
В июле 964 г. имп. Оттон I собрал неск. епископов и аббатов, в их числе был К., чтобы рассмотреть жалобу монахов аббатства Санкт-Галленна притеснения со стороны соседнего аббатства Райхенау; кроме того, у императора появились сведения о нарушении в Санкт-Галлене монашеской дисциплины. Результаты деятельности этой комиссии и роль в ней К. неизвестны (Maurer. 2003. S. 137). В монастырской хронике Санкт-Галлена сохранилась запись о посещении К. обители 11–13 апр. 968 г.: епископ раздал милостыню бедным, произнес проповедь, а затем участвовал в торжественной процессии и совершил миропомазание; в Вербное воскресение отслужил в монастыре мессу (Duft. 1991; Maurer. 2003).
Похоронен в ц. св. Маврикия. О почитании К. в Констанце можно говорить с кон. XI в.: в 1089 г. по распоряжению Констанцского еп. Гебхарда III (1084–1110) останки К. были торжественно перенесены из ц. св. Маврикия в кафедральный собор Пресв. Девы Марии и захоронены под алтарем Св. Креста (Vita altera. 1 // MGH. SS. T. 4. P. 437). В 1122/23 г. с просьбой к Папскому престолу причислить К. к лику святых обратились неск. человек, в т. ч. Констанцский еп. Ульрих I (1111–1127) и герц. Генрих Чёрный из рода Вельфов; тогда же было составлено Житие святого. 28 марта 1123 г. папа Каллист II на I Латеранском Соборе объявил о причислении К. к лику святых католич. Церкви (Jaffé. RPR. T. 1. N 7028. P. 8010). 26 нояб. 1123 г. в Констанце при большом стечении народа мощи К. были помещены в новый реликварий и перенесены в ц. св. Маврикия (Odalscalci Vita S. Konradi liber tertius. 3, 7, 10. 1975. P. 98–106); в церемонии участвовали герц. Генрих Чёрный, швабский герц. Фридрих Штауфен, герц. Конрад фон Церинген (Maurer. 2003. S. 143–144). Ок. 1526 г., во времена Реформации, мощи К. вместе с мощами др. святых, почитаемых в Констанце были осквернены и выброшены в Боденское оз. Сохранилась только голова святого; в наст. время она находится в кафедральном соборе г. Констанца, в капелле св. К. Вместе со св. Пелагием К. почитается как покровитель еп-ства Констанц, с 1821 г. и как покровитель диоцеза Фрайбург-им-Брайсгау. В 1876 г. в Констанце торжественно отмечалось 900-летие кончины К. Проведенный юбилей заложил традицию для ежегодного городского праздника в честь К. (Theil. 2006).
К. изображается с чашей и сидящим на ней пауком. Согласно 1-му Житию, на праздновании Пасхи К. взял чашу с вином, чтобы причаститься, но увидел, что в нее упал ядовитый паук. Крепкий в вере, не сомневаясь, что яд ему ничем не повредит, К. осушил чашу (Vita prior. 10 // MGH. SS. T. 4. P. 433). Описание этого чуда отсутствует в самых древних рукописях Жития св. К. (Berschin. Odascalcs Vita S. Konradi. 1975. S. 95); вероятно, этот сюжет был добавлен в текст позднее.