ЕВКЛИД

[греч. Εὐκλείδες] (кон. IV - нач. III в. до Р. Х.), древнегреч. математик и педагог, представитель александрийской математической школы, широкую известность приобрел благодаря сочинению по основам математики, озаглавленному «Начала» (Στοιχεῖα, букв.- элементы).

Евклид. Литография. XVIII в.

Евклид. Литография. XVIII в.

Сведения о жизни Е. весьма скудны: по всей видимости, первоначальное философское и математическое образование он получил в Афинах от учеников Платона; возможно, сам Е. также был платоником по философским воззрениям. По свидетельству Паппа Александрийского, Е. преподавал математику в Александрии (Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt / Ed. F. Hultsch. B., 1877. Vol. 2. P. 678), Прокл Диадох называет Е. современником царя Птолемея I Сотера (305-283 гг. до Р. Х.), к-рому, по приводимому Проклом преданию, Е. осмелился сказать, что в изучении геометрии не существует особых царских дорог (Procl. In primum Euclidis Elementorum librum Commentarii / Ed. G. Friedlein. Lpz., 1873. P. 68). Исходя из этих косвенных сведений, «расцвет» Е. совр. исследователи относят к 300 г. до Р. Х. (Schönbeck. 2003. S. 9). У средневек. араб. авторов встречаются восходящие к поздней античности довольно подробные сведения о Е., достоверность к-рых сомнительна (Ibid. S. 6). В средние века лат. переводчики и издатели нередко путали Е. с философом Евклидом из Мегары, современником Платона, из-за чего неверно называли его Мегарец (Megarensis).

В трактате «Начала», состоящем из 13 книг, Е. систематизировал и обобщил достижения совр. ему математики в том виде, как она изучалась в школе Платона. Основными структурными элементами сочинения Е. являются определения (ὅροι), а также принимаемые без доказательства постулаты (αἰτήματα) и аксиомы (κοινα ἔννοιαι - общие понятия), на основании к-рых Е., используя чисто дедуктивный метод, создает различные «предложения» (лат. propositiones, т. е. положения, требующие доказательства), которые впосл. были классифицированы как теоремы (θεωρήματα) и особые задачи на построение (προβλήματα).

В соответствии с такой структурой работы кн. 1 начинается с 23 элементарных определений (напр., определение 1: «Точка - то, что не имеет частей», определение 2: «Линия - длина без ширины» и т. д.), 5 постулатов и 5 аксиом, после чего следуют основные «предложения» планиметрии, среди которых - признаки равенства треугольников и теорема о равенстве суммы углов треугольника 2 прямым (Euclides. Elementa. I 32). Книга заканчивается доказательством теоремы Пифагора (I 47) и обратной ей теоремы (I 48). Кн. 2 посвящена геометрической алгебре, т. е. доказательствам алгебраических тождеств с помощью геометрических построений. В этой книге производится деление отрезка в специальном отношении (II 11), в эпоху Ренессанса получившем название «золотое сечение», приводится обобщение теоремы Пифагора (II 12-13), в совр. терминологии соответствующее теореме косинусов. В кн. 3 излагаются основные свойства окружностей, касательных, хорд, вписанных углов, доказывается теорема о степени точки (III 35-37). В кн. 4 рассматриваются вписанные и описанные фигуры, приводятся построения правильных многоугольников, в частности правильных 5- и 15-угольников. Кн. 5 посвящена общей теории отношений и пропорций. В кн. 6 эта теория применяется к планиметрии (теория подобных фигур, теорема Фалеса и пропорциональные отрезки, деление отрезков в различных отношениях).

В книгах 7-9 излагается элементарная арифметика; по всей видимости, эти книги содержат открытия пифагорейцев (не позднее V в. до Р. Х.) и основаны на несохранившихся сочинениях Архита Тарентского. Кн. 7 открывается 22 определениями, в т. ч. определениями единицы (μονάς), числа (ἀριθμός), четных и нечетных, простых и составных, взаимно простых, совершенных чисел, за к-рыми следует изложение основных свойств делимости. Описывается «метод попеременного вычитания» для нахождения наибольшего общего делителя неск. чисел (VII 1-3), получивший впосл. название алгоритма Е. Кн. 8 содержит развитую теорию непрерывных пропорций. В кн. 9 продолжается изложение свойств делимости и доказывается бесконечность множества простых чисел (IX 20). В 10-й кн., содержащей 115 «предложений» и занимающей по объему почти 4-ю часть трактата, исследуются и классифицируются иррациональные величины и отношения. Вводится 3 основных рода иррациональных отрезков, затем производится более тонкое разделение иррациональностей на 13 видов (X 111). Возможно, кн. 10 представляет собой трактат Теэтета, целиком заимствованный Е. (Ван дер Варден. 1959. С. 227-239). Кн. 11-13 посвящены стереометрии. В кн. 11 изучаются пересечения плоскостей и прямых, вводятся определения пространственных тел (призма, пирамида, цилиндр, конус, сфера, параллелепипед и др.) и излагаются их основные свойства. В кн. 12 с помощью метода исчерпывания Евдокса Книдского изучаются соотношения объемов тел (в частности, доказывается, что отношение объемов 2 шаров равно отношению кубов их радиусов). Главная тема кн. 13 - построение и изучение свойств 5 правильных многогранников (т. н. платоновых тел): тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра; эта книга также основана на результатах Теэтета.

Существуют 14-я книга «Начал», предположительно добавленная Гипсиклом (II в. до Р. Х.), и 15-я книга, принадлежащая неизвестному автору, жившему ок. VI в.

Трактат Е. активно использовался и комментировался последующими греч. авторами, наиболее известные комментарии были составлены Героном, Паппом, Проклом и Симпликием. Практически все существующие рукописи «Начал» восходят к редакции, выполненной Теоном Александрийским (IV в.), более ранняя редакция текста представлена лишь 1 рукописью (Vat. gr. 190, X в.), а также значительным числом греч. и араб. фрагментов. К X-XII вв. «Начала» были неоднократно переведены на араб. язык, существовали переводы и на др. вост. языки: персидский, еврейский, сирийский и армянский. Первый перевод «Начал» на лат. язык был выполнен ок. 500 г. Боэцием, однако уже к VIII-IX вв. он был утрачен, сохранились лишь небольшие фрагменты. Полностью текст «Начал» вновь становится известным на Западе в XII в., когда появляются 3 независимых перевода с араб. и 1 перевод с греч. языка. Еще большее значение для рецепции текста Е. европ. наукой имели 2 средневек. переработки текста «Начал», выполненные Робертом из Честера (ок. 1140) и Иоанном Кампанусом (ок. 1255, печатное издание - 1482). Последний использовал основывающийся на араб. источниках текст Роберта, дополнив его достижениями совр. ему математики. Лат. версия Кампануса оставалась весьма популярной в Европе даже после появления издания оригинального греч. текста (1533). Между 1543 и 1567 гг. были опубликованы первые итал., англ., франц. и нем. переводы «Начал» (Folkerts. 2006. P. III 2).

Стремление Е. к построению в «Началах» логически строгой и последовательной системы математического знания, а также энциклопедичность содержания и исключительные дидактические достоинства «Начал» вызывали восхищение математиков последующих эпох и сделали это сочинение самым успешным и авторитетным учебником математики (прежде всего - геометрии) на протяжении почти 2 тысячелетий. По словам ван дер Вардена, Е. является «величайшим школьным учителем, которого только знает история математики» (Ван дер Варден. 1959. С. 268).

Значительный вклад в развитие древнегреч. науки внесли также др. сочинения Е., из к-рых сохранились: «Данные» (или «О заданных величинах», Ϫεδομένα), трактат посвящен некоторым алгебраико-геометрическим задачам, в частности предлагается ряд построений, позволивших грекам решать квадратные уравнения геометрическим способом; «О делении фигур» (Περ διαιρέσων), где рассматривается деление фигур с помощью прямой на 2 части, имеющие заданное отношение, сохранился только в арабском переводе; «Оптика» (᾿Οπτικά), содержит учение о перспективе; «Зрительные образы» (Θαινόμενα), где излагается элементарная теоретическая астрономия (разрабатываемая в платоновском ключе наука о вращающейся сфере). Трактат «Катоптрика» (Κατοπτρικά), предлагающий элементы теории зеркальных изображений, в наст. время считается позднейшей компиляцией (Lejeune. 1948; Schönbeck. 2003. S. 102).

Особого внимания заслуживает трактат «Деление канона» (Κατατομὴ κανόνος), т. е. монохорда - муз. инструмента с 1 натянутой струной, пережимая которую в различных местах можно получать разные интервалы в заданном математическом соотношении. В этом сочинении, широко известном под лат. названием «Sectio canonis» (сохр. более чем в 200 рукописях), Е. обобщил и развил достижения пифагорейской теории музыки (гармоники). В последующие века эта работа была дополнена и приобрела такое же значение для муз. науки, какое «Начала» имели для математики. Преемственность по отношению к теоретическим положениям в том виде, как они изложены в этом труде Е. (уделявшего особое внимание таким аспектам теории музыки, как тесная связь муз. акустики и математики, сопоставление муз. интервалов и числовых отношений и обоснование через них консонансов, деление монохорда в разных родах), четко прослеживается в трудах крупнейших теоретиков музыки вплоть до эпохи Возрождения (Птолемей, Никомах, Боэций, Гвидо Аретинский и др.).

Из античных источников известно о существовании др., ныне утерянных сочинений Е.: «Pseudaria» (Ψευδάρια, о логических ошибках в математике), «О конических сечениях» (Κωνικά, материал вошел в одноименный трактат Аполлония Пергского), «Геометрические места на поверхностях» (Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ), «Поризмы» (Πορίσματα, упом. у Паппа и Прокла). Выдержанный в традициях Аристоксена трактат «Введение в гармонику», к-рый приписывается Е. во мн. старинных рукописях, совр. исследователи считают принадлежащим Клеониду.

Следуя Платону, предписывавшему каждому в качестве подготовки к философии изучение 4 «математических» наук: арифметики, геометрии, гармоники (т. е. теории музыки) и астрономии, Е. действительно охватил своими сочинениями всю элементарную математику эпохи Платона и его учеников, заложив пути ее развития на долгие годы вперед. Значение достижений Е. для математической науки столь велико, что, по утверждению ван дер Вардена, «все античные и современные математики являются его учениками» (Ван дер Варден. 1959. С. 275). Неск. фундаментальных понятий и конструкций совр. математики названы в честь Е. (евклидово пространство, евклидова метрика, алгоритм Е., евклидово кольцо и др.).